논문 감상 : eternal inflation

며칠 동안 얼마 전 나온 논문 

J. Cotler, V. Ivo, J. Maldecena,
Renormalization in Liouville gravity and stochastic inflation
2608.26244 [hep-th]
https://inspirehep.net/literature/3196757

를 읽어보았다. Eternal inflation에 대한 해석 문제인데, 전통적인 접근 방법 

P. Creminelli, S. Dubovsky, A. Nicolis, L. Senatore, M. Zaldarriaga,
The Phase Transition to Slow-roll Eternal Inflation
JHEP 09 (2008) 036 0802.1067 [hep-th]
https://inspirehep.net/literature/779035

혹은 저자분들이 참여한 그 무렵 논문들과 비교해 보면 꽤나 재미있다. 그리고 보다 보니 좀 확인해 보고 싶은 것도 생겼고...

사실 eternal inflaton이라는 게, 다중 우주를 구현할 수 있는 방법인지라, 다소 자극적인 면도 있다. 그리고 이걸 관측적으로 어떻게 확인할지 알 수 없다는 점도 동시에 가지고 있기 때문에 호오가 극단적으로 갈리는 주제이기도 하다. 이건 SF 지 물리가 아니라는 소리도 들었으니까.. 그런데 본질적으로 보면, 꽤나 전통적인 통계물리 문제이기도 하다. Brown 운동의 아이디어가 적용되는 전형적인 예제라서.  

 일단 물리적인 상황은 이렇다. 급팽창 시기에는 계속 내가 신경 써 왔듯이 background가 완벽한 de Sitter로 주어지지 않기 때문에 de Sitter가 가지는 timelike isometry가 깨지게 되고, 이 때 timelike isometry가 있다면 physical 하지 않았을 sptial metric의 trace 부분 flutation이 inflaton fluctuation과 결합해서 물리적인 local gauge  (즉 diffeomorphism) invariant operator가 된다. 이걸 curvature perturbation 혹은 Mukhanov-Sasaki variable이라고 부른다. 'sptial metric의 trace'이라는 말에서 짐작하듯, 이건 scale factor의 양자역학적 fluctuation에 해당하고, scale factor가 시간에 대한 함수로 주어지기 때문에 결국은 시간의 양자역학적 요동에 해당한다. 사실, inflaton의 fluctuation과 결합하는 것이 그런 면에서 자연스러운데, inflaton의 classical solution은 시간에 의존하기 때문에 Einstein 방정식(혹은 Friedmann 방정식)을 통해 Hubble parameter가 더 이상 상수가 아닌 시간에 의존하는 함수가 되게 만들고, 결국 서로 다른 time slice를 구분하게 만드는 'clock' 역할을 하게 된다. 그래서 inflaton의 fluctuation 역시 시간의 fluctuation으로 해석할 수 있고, curvature perturbation은 이 정보들을 모두 담고 있는 gauge invariant operator가 된다. 그런데 우주 자체가 급팽창하는 통에 curvature perturbation의 fluctuation은 시간이 지나면서 점점 늘어나서 결국 파장이 horizon scale (1/H  여기서 H는 Hubble parameter) 보다 길어진다. 이 상황을 horizon exit, freezing 등으로 불리우는데, effective field theory 관점에서 보면 H보다 낮은 energy scale 즉 super-horizon mode들의 이론으로 기술될 것이다. 이게 effective field theory of inflation이라는 것이고, 내가 입자물리에서 우주론으로 관심을 바꾸게 되면서 계속 다루어 온 주제이기도 하다. 그런데, 중력의 non-linear interaction 즉 graviton 사이의 self interaction 때문에 super-horizon mode와 sub-horizon mode 사이의 상호작용이 존재해서, super-horizon mode들의 유효 이론을 구하기 위해 sub-horizon mode들을 integrated out 해 버리면, 결국 super-horizon mode들은 mixed state로 기술되게 된다. 다시 말해서 중첩에 대한 정보를 잃게 되고 (이걸 decoherence라고 한다) mode들이 horizon 바깥으로 나간 이후, 이들은 양자역학적 요동이라기보다는 고전역학적인 요동처럼 행동해서 고전적인 개념의 시간조차도 정확히 Friedmann 방정식을 따라 균질하게 혹은 등방적으로 진행되는 것이 아니라, 어떤 곳은 시간이 더 가고 어떤 곳은 덜 가게 된다. 이 시간의 요동이 Hubble parameter의 요동과 동일시된다는 점을 생각하면, 어떤 곳은 Hubble parameter가 커서 팽창이 여전히 급격하게 이루어지지만, 다른 곳은 Hubble parameter가 작아져서 팽창률이 작고, 심지어 inflation이 이미 끝났을 수도 있음을 의미한다.  이 현상이 적어도 지금까지는 우주가 완벽하게 매끈한  균질성/등방성을 유지하는 것이 아니라 약간의 inhomogeneity를 가지는 것을 아주 잘 설명하고 있다. 이게 중요한 것은, 고전적인 관점에서 볼 때 우주가 덜 팽창하는 곳은 더 많이 팽창하는 곳에 비해 중력의 인력 효과가 커져서 물질의 밀도가 크게 되고, 그만큼 온도가 높게 되기 때문이다. 결국 이게 우주배경복사 (Cosmic Microwave Background : CMB)의 inhomogeneity에 반영되어 지금 우리가 관측할 수 있게 되는 것이다. 물론 관측해 보면 이 inhomogeneity 효과는 매우 작다. (온도의 요동)/(평균 온도 즉 2.7K)은 대략 10^{-5}를 넘지 못하니까.. 그럼에도 불구하고 이 작은 불균질함이 이게 중요한 것은, 바로 이 작은 inhomogeneity가 우주의 거대구조를 만드는 씨앗이 되기 때문이다. 특히나 우리의 존재 자체가 우주의 불균질함이라는 점을 생각하면, 우주론의 관점에서 '어떻게 우리가 존재할 수 있는지?'라는 심오한 의문에 대한 나름대로의 해답이기도 하다.

 여기서 eternal inflation을 이야기하려면 확률을 따져보아야 한다. 만약 시간의 요동이 충분히 커서, 우주의 상당히 많은 부분 (Hubble size의 조각을 보통 생각하기 때문에 Hubble patch라고 부른다. 아무래도 이 영역이 인과적인 연결이 강한지라... ) 이 팽창하고 있다면, 우주 전체 관점에서 보면 이미 inflation이 끝난 영역들 사이의 간격은 그 사이에 존재하는 아직도 inflaiton이 진행되는 영역이 급팽창 하면서 점점 따로 떨어져서 멀어지게 된다. eternal inflation이 묘사하려는 상황이 정확히 이것이다. String landscape의 관점에서 보면 이론에서 허용하는 metastable vacuum의 상태가 너무너무너무 많다보니 이렇게 서로 멀리 떨어지는 각 '이미 inflation이 끝난 영역'들은 상당히 다양한 가능성을 가지게 된다. 다중 우주가 실제로 구현되는 방식은 대체로 이런 것이다. 그런데, 만약 Hubble parameter가 충분히 빠르게 변하는 상황을 생각해 보자. 직관적으로 쉽게 생각할 수 있는 slow-roll inflation scenario를 생각해 보면, inflaton이 potential을 굴러 떨어지면서 시간이 진행되는데, 양자 요동에 의해 어떤 영역에서는 inflaton이 오히려 potential을 거슬러 올라가면 그 영역이 바로 여전히 급팽창하는 영역이 된다. 하지만, potential이 충분히 급격해서(= Hubble parameter가 충분히 빠르게 변해서)  굴러 떨어지는 확률이 훨씬 압도적이라면, 거슬러 올라갈 확률은 급격히 줄어서 '우주 전체가 엄청 팽창하고 inflation이 끝난 영역들이 급격히 멀어지는 상황'은 잘 생기지 않게 된다. 보통 \epsilon=-{\dot H}/H^2 (slow-roll parameter로 알려져 있고, Hubble parameter의 시간에 대한 변화율이다) 값이 H^2/M_{\Pl}^2보다 크면 eternal inflation은 일어나지 않는다고들 한다. 2018-2019년 swampland program을 통해 de Sitter swampland conjecture가 논의되었을 때, 양자역학적으로 de Sitter가 선호되지 않는다는 것을 이 조건으로 이야기하기도 해서 그때 꽤 관심을 가졌고, 논문 쓸 때 종종 이 이야기를 하게 된다.

 여기서 super-horizon mode들의 행동을 보면, 아까 이야기했듯이 전형적인 random walk이다. 고전역학적인 시간 fluctuation이 되면서 우주의 어떤 부분은 시간이 더 가고 또 다른 부분은 덜 가곤 하는데, 얼마나 더 가는지/덜 가는지는 순전히 random인지라.. 특히 이전 시점의 inflaton fluctuation 크기는 다음 시점의 fluctuation과 별 관련이 없다. 흔히들  이런 상황들을 종합적으로 stochastic하다고 이야기들 한다. A. Starobinsky 선생이 이 과정을 깊게 파신 바 있고, 이 분의 연구는 eternal inflation을 이야기하는 기본 틀이 되었다. 다른 건 아니고, 전통적으로 stochastic motion을 분석하는 'Fokker-Planck 방정식'을 푸는 것이다. 그런데 이번에 본 Cotler-Ivo-Maldecena 논문은 이걸 재규격화 (renormalization)의 관점에서 풀어냈다. 물론 정성적인 이야기가 바뀌는 것은 아니지만, 꽤 재미있는 접근 방법이고, 논문에서 이야기했듯, Liouville gravity 등 2차원 Conformal Field Theory(CFT)에서와 같은 이야기를 할 수 있다는 점에서 이론적으로 흥미로운 구석이 있다. CFT에서 짐작하겠지만, 여기에는 scale invariance의 역할이 중요하다. inflation 같은 경우, de Sitter의 isometry는 3차원 공간 입장에서 보면 conformal symmetry에 해당한다. 특히 timelike isometry는 flat coordinates (여기서 metric이 FRW꼴로 주어진다) 입장에서 보면 time translation과 spatial dilatation의 조합인지라, scale invarinace를 다룰 수밖에 없는 상황이 벌어진다. 사실 우주배경복사에서 흔히 이야기하는 spectral index가 정확하게 이 scale invarinace가 얼마나 깨지는지를 측정하는 것이다. Scale invariance가 유지된다면, curvature perturbation의 2-point function은 정확하게 기계적인 차원 분석을 따르게 되고, scale invariance가 깨진다면 spectral index는 여기에 추가적으로 붙는 anomalous dimension으로 해석된다. 말하자면, 잘 강조는 안되지만 inflation을 이야기할 때 이미 재규격화의 언어를 가지고 기술하고 있는 것이다. 아무튼 결과적으로 x 공간에서 2-point function은 scale invariance가 있다면 power law를 따르지 않고 log 함수를 따르게 된다. 그리고 이건 Liouville gravity에서도 볼 수 있는 것이다. 그러면 curvature perturbation이 가질 수 있는 값이 Gaussian 분포를 따를 때 일부 mode들을 intagrated out 시켰을 때 물리적으로 관심 있는 양들은 어떤 식으로 변하는가? 이게 (양자역학적이라기보다는 통계역학적이지만) 재규격화의 언어로 이야기해야 하는 것이다.

 그러면 Cotler-Ivo-Maldecena에서 관심 있는 물리량은 뭐냐.. 우주 전체에서 inflation이 끝난 시점들을 이어서 3차원 spacelike surface를 만들었다고 해 보자. 이 시점이 지나면 reheating이 시작되기 때문에 이걸 reheating surface라고 부른다. 고전적으로야(즉 Friedmann 방정식을 그대로 따른다면) 시간은 inflaton의 균질/등방적인 시간 변화를 따라 어느 지점이나 상관 없이 같이 가고, 그 결과 reheating surface는 예쁘게 radial 방향=시간 방향인 구를 그리겠지만, sub-horizon curvature perturbation mode들의 fluatuation 덕택에 실제로는 쭈글쭈글하다. 어떤 지점은 시간이 더 가서 inflation이 끝났지만, 다른 지점은 시간이 덜 가서 여전히 급팽창 중인 것이 반영된 것이다. 특히나 eternal inflation이 일어난다면 우주의 상당히 많은 부분이 급팽창 중인지라 쭈글쭈글한 정도가 아주 심해진다. 여기서 일어나는 일이 꽤 재미있는데, 만약 매끈한 원이라면 유한한 반경을 가져야 할 것이 쭈글거리는 정도가 심해짐에 따라 쭈글쭈글 거리는 폐곡선의 둘레는 점점 길어질 것이다. 여기서 scale invariance가 역할을 한다. 어떤 scale에서 보건 세상은 똑같이 보여야 하기 때문에 내가 scale을 좁혀서 자세히 보더라도 여전히 더 큰 scale과 같은 정도로 쭈글거리게 되고, 결과적으로 전체 둘레는 그냥 길어지는 정도가 아니라 무한대가 되어 버린다. 어디서 많이 들어본 이야기라면 맞는 말인 게, 이게 바로 fractal 구조가 이야기해 주는 것이다. 리아스식 해안선이 있고, 이걸 확대해 봐도 여전히 같은 형태의 리아스식 해안선으로 보인다면 해안선의 총둘레는 무한대이다..라는 이야기. eternal inflation은 이걸 어떤 식으로 구현하느냐.. 아까 언급했듯, eternal inflation은 우주의 많은 부분이 Hubble parameter가 줄어들지 않아 다른 부분에 비해 급격하게 팽창한다. 그런데, scale invariance에 의하면 이 급팽창해서 넓어진 부분 역시 양자역학적 요동으로 인해 계속 여전히 급팽창하는 부분과 급팽창이 더 진행되어 끝나가는 부분으로 나누어지고, 그 모양은 어떤 길이 scale에서 보아도 똑같이 보인다. 결과적으로 eternal inflation이 일어날 확률이 exponentially suppress 되는 경우라 하더라도, 우주 전체가 급팽창 효과로 인해 부피가 아주 커져 있다면 결과적으로 급팽창하는 우주가 계속 같은 비율로 생겨서, 아주 쭈글거리는 reheating surface가 생기게 된다. 결국 재규격화의 결과, 즉 sub-horizon curvature perturbation mode들의 fluatuation의 효과를 모두 합치면, reheating surface의 부피는 Friedmann 방정식을 따를 때와는 완전 다르게 발산하는 상황이 벌어져서, 제대로 재규격화가 되지 않는다. 그리고 그렇게 재규격화가 되지 않을 조건을 보면 정확하게 \epsilon이 H^2/M_{\Pl}^2보다 작다는 것으로 나온다. 더 정확히는 앞에 붙는 상수까지 제대로 이야기할 수 있다. 

 여하간 간만에 상당히 재미있는 논문을 보았다. 사실 여기서 개인적으로 눈에 띈 것이 Linear roll limit이라는 건데, M_{Pl}을 무한대로 보내면서 (즉 중력의 decoupling limit) H와 dV/d\phi는 일정하게 놓는다는 것이다. 이걸 완벽한 de Sitter위에서 linear potential 위를 구르는 inflaton 상황으로 해석했는데, 이게 다른 게 아니라 사흘 전 accept 된 논문의 referee 씨가 혹시 당신이 다룬 상황이 이게 아니냐고 물어본 것인지라.. 물론 내 논문은 그것보다 좀 더 일반적인 상황을 이야기했다. 단지, 이것과 연결고리가 아주 없는 것은 아닌데, swampland도 다루어 본 내 입장에서 보면 eternal inflation이 일어나지 않을 조건 즉 \epsilon이 H^2/M_{\Pl}^2보다 크다는 조건을 \epsilon*(horizon entropy)가 중력의 decoupling limit에서도 무시하지 못할 정도로 크다는 것으로 연결하는 해석에 관심이 간 상황인지라 좀 더 눈길이 갔긴 했다. 결론적으로 이야기하면, 아예 관련이 없지는 않다.  중력의 decoupling limit에서는 사실 \epsilon parameter도 0으로 간다. curvature perturbation의 표현 식에서 metric fluctuation와 inflaton fluctuation 사이의 mixing이 \sqrt{2\epsilon}으로 주어진다는 것을 생각하면 \epsilon이 0으로 가는 것은 정확하게 decoupling limit에서 일어나는 상황을 다룬 것이 맞긴 하다. 대신 \epsilon 안에서 M_{\pl}를 제외한 다른 요소들 즉 H와 dV/d\phi가 물리적으로 말이 안 될 정도로 작거나 크거나 하지 않고 일정한 값을 가진다면 이게 정확하게  \epsilon*(horizon entropy) 값이 변하지 않고 일정한 값을 가진다는 조건이 된다. 그래서 결론적으로 말하면 내 논문에 관련된 논의를 했고, referee는 그걸 주목했을 것 같긴 하다. 그래도 그 언급은 마지막에 몇 줄 언급한 것이고 아주 흥미롭긴 하지만 전체적인 상황의 일부인지라 제대로 안 읽으신 건 맞는 듯.. -_-