spinor....

논문 쓰고 있는 것도 아닌데 읽고 있는 논문이 계산이 많아서 본의 아니게 바쁜 연말이 되어버렸다. 이거 가지고 당장 뭔가 할 수 있는 것은 아니고 누군가 하라고 시킨 것은 더더욱 아니지만 그래도 내용을 최대한 이해해 볼 필요가 있다 보니 그리 되었다. 

 생각해 보니까 지금까지 쓴 논문들 중 fermion의 역할이 강조된 것이 별로 없는 것 같다. Higgs나 inflaton이나 모두 scalar이고 상당히 오랜 시간 동안 이것들의 potential을 주로 다루다 보니 spinor에 대한 감각이 많이 떨어진 것 같다. 요 며칠 그쪽을 좀 보고 있었는데.. 

 A. Tomasiello, Geometry of String Theory Compactifications
 Cambridge University Press
  https://inspirehep.net/literature/2017797 

 이 책 초반부가 꽤 볼만한 것 같다. 사실 string theory책 (Polchinski나 Blmenhagen-Lust-Theisen) 이나 supergravity책 (Freedman-van Proeyen) 같이 고차원을 다루는 책들을 보면 spinor의 성질에 대해 꽤 자세하게 볼 수 있다. 입자물리를 계속 한 입장에서는 4차원에 익숙하지만, 다른 차원에서 어떻게 spinor가 나타나는지를 생각하다 보면 꽤 많은 것을 배울 수 있다. 간단히 말해서,  Clifford algebra를 생각하자는 것인데, gamma matrix들 사이의 commutator가 다름 아닌 Lorentz / rotation group의 generator가 되기 때문에, 공간을 이해하는 다른 방식이라고 할 수 있다. 다만 Clifford algebra 의 경우 anti-commutator로 정의되고 그 결과 자연스럽게 spinor를 이야기할 수 있다. 다른 게 아니라 두 개씩 묶어서 선형결합을 만들면, fermion의 creation/annihilation operator를 만들 수 있으니까.. 이 선형 결합은 공간을 복소수 공간으로 이해하는 것과 같고, 초끈이론에 나타나는 compactification과도 꽤 강하게 관련되어 있다.

 이번에 좀 더 체계적으로 정리할 수 있었던 것은, Clifford map 그러니까 differential form과 gamma matrix 들 사이의 anti-symmetric곱 사이의 대응관계이다. 이건 사실 정확하게 초끈이론에서 RR form이 p-form으로 나타나는 것을 기술하는 방식이기도 하다. 그리고 spinor 사이에 anti-symmetric곱이 끼어있을 때 그 행렬 성분을 구하는 Fierz identity가 상당히 많은 정보를 제공해 준다는 것도 꽤 인상적이었고. 그럴 수밖에 없는 게, 이게 정확하게 spinor가 p-form이나 여타 다른 gauge field와 결합하는 방식이라서, compactification을 하는 과정에서 4차원에 나타나는 상호작용 형태를 보려면 6차원 spinor의 Fierz identity를 볼 수밖에 없다.

  사실 이렇게 시간을 들여서 이해해 보다 보면 이걸 가지고 뭔가를 하고 싶어지는데.. 일단 정리한 다음에 찾아보든지 해야겠다.